1. 1.KAPITOLA TŘETÍ: FIGURA A POZADÍ
    1. 1.PRVOČÍSLA A SLOŽENÁ ČÍSLA
    2. 2. kr-SYSTÉM
    3. 2.JAK ZACHYTIT SLOŽENOST ČÍSEL
    4. 3.NELEGÁLNÍ CHARAKTERIZOVÁNÍ PRVOČÍSEL

1.KAPITOLA TŘETÍ: FIGURA A POZADÍ

1.PRVOČÍSLA A SLOŽENÁ ČÍSLA

Welthauptstadt Germania

Na myšlence, že pojmy a koncepty lze zachytit jednoduchými typografickými manipulacemi, je něco zvláštního. Jedním z konceptů, který jsme takto vystihli, je ovšem sčítání; a to tak zvláštně nevypadalo. Předpokládejme ale, že máme v úmyslu vytvořit formální systém s teorémy ve formě Px, kde „x“ představuje řetězec pomlček a kde jedinými teorémy budou ty, v nichž bude onen řetězec sestávat jen z jejich prvočíselného počtu. To znamená, že teorémem bude například P---, nikoli už ale P----. Jak by se to dalo typograficky zachytit? Především je důležité, abychom si ujasnili, co myslíme výrazem typografické operace. Jejich úplný repertoár jsme si představili u MIU-systému a pr-systému, takže teď nám už jen zbývá sepsat výčet toho, co umožňují:

(1) čtení a rozeznávání každého z konečného souboru symbolů;

(2) zapisování kteréhokoli symbolu, který je součástí souboru;

(3) kopírování kteréhokoli symbolu z jednoho místa na jiné;

(4) vymazávání kteréhokoli ze symbolů;

(5) ověřování, zda je určitý symbol totožný s jiným;

(6) vedení a používání seznamu dříve vytvořených teorémů.

Seznam je nadbytečně velký, na tom ale nesejde. Důležité je, že evidentně zahrnuje jen triviální schopnosti, z nichž každá je mnohem slabší než schopnost rozlišovat prvočísla od ostatních čísel. Jak bychom tedy mohli některé z těchto operací seskládat, tak, aby vytvořily formální systém, v němž lze prvočísla odlišit od čísel složených?

2. kr-SYSTÉM

Prvním krokem by mohl být pokus o řešení podobného, ale jednoduššího problému. Mohli bychom vytvořit systém podobný pr-systému s tím rozdílem, že namísto sčítání bude reprezentovat násobení. Nazvěme si jej kr-systém, kde „k“ znamená „krát“. Předpokládejme, že X, Y a Z reprezentují počty pomlček v pomlčkových řetězcích x, y a z. (Všimněte si, jak pečlivě rozlišujeme mezi řetězcem a počtem pomlček, které obsahuje.) Chceme pak, aby řetězec xk rz byl teorémem tehdy a jen tehdy, jestliže X krát Y rovná se Z. Teorémem by tak měl být například řetězec --k---, protože 2krát 3 rovná se 6, kdežto --k--r--- teorémem nebude. Tento kr-systém lze charakterizovat stejně snadno jako pr-systém, tedy pomocí jednoho schématu axiomů a jednoho odvozovacího pravidla:

.

SCHÉMA AXIOMŮ: xk-rx je axiom pokaždé, když x je řetězec pomlček.

ODVOZOVACÍ PRAVIDLO: Předpokládejme, že x, y a z jsou řetězce pomlček a že xkyrz je teorémem. Potom i xky-rzx je teorémem.

Zde je odvození teorému --k---r------:

(1) --k-r-- (axiom)

(2) --k--r---- (podle odvozovacího pravidla s využitím řádku (1) jako stávajícího teorému)

(3) --k---r------ (podle odvozovacího pravidla s využitím řádku (2) jako stávajícího teorému)

Všimněme si, že prostřední řetězec pomlček se při každém uplatnění odvozovacího pravidla zvýší o jednu pomlčku; můžeme tedy snadno předpovědět, že pokud budeme chtít získat teorém s deseti pomlčkami uprostřed, uplatníme odvozovací pravidlo devětkrát po sobě.

2.JAK ZACHYTIT SLOŽENOST ČÍSEL

Násobení, které je o něco složitější koncept než sčítání, jsme nyní typograficky „zachytili“, podobně jako Escher „zachytil“ ptáky ve svém Osvobození. Podaří se nám to i s pojmem prvočíselnosti? Podívejme se na důvtipný plán, který by nás k tomu mohl dovést: použijeme kr-systém a definujeme novou množinu teorémů ve formě Sx, která bude charakterizovat složená čísla, a to následujícím způsobem:

PRAVIDLO: Předpokládejme, že x, y a z jsou řetězce pomlček. Jestliže je x-ky-rz teorém, pak je teorémem i Sz.

Funguje to tak, že například Z (počet pomlček v z) je složené číslo, pokud je součinem dvou čísel větších než 1 — konkrétně X+1 (počet pomlček v x-) a Y+1 (počet pomlček v y-). Obhajuji toto pravidlo tím, že jej vysvěluji v určitém „inteligentním módu“. Jsme totiž lidské bytosti a chceme vědět, proč takové pravidlo existuje. Kdybychom fungovali pouze v „mechanickém módu“, žádné vysvětlení bychom nepotřebovali, protože ti, kdo fungují v M-módu, se mechanicky a bezstarostně řídí mechanickými pravidly a nikdy je nenapadne pravidla zpochybnit!

Jelikož ale fungujeme v I-módu, bude mít naše mysl sklon zamlžovat rozdíl mezi řetězci a jejich interpretacemi. Vidíme, že jakmile začneme v symbolech, s nimiž manipulujeme, vnímat „významy“, začne nás to mást. Budeme muset bojovat sami se sebou, abychom nesklouzávali do představy, že řetězec „---“ je číslo 3. Požadavek formálnosti, který nám v kapitole 1 mohl připadat matoucí (protože se zdál zcela evidentní), tady situaci komplikuje a stává se zcela zásadní. Je tím hlavním, co nám brání míchat I-mód s M-módem; jinak řečeno, brání nám směšovat aritmetická fakta s typografickými teorémy.

3.NELEGÁLNÍ CHARAKTERIZOVÁNÍ PRVOČÍSEL

Bylo by velmi lákavé přeskočit od teorémů typu S přímo k teorémům typu P tím, že navrhneme následující pravidlo:

NAVRHOVANÉ PRAVIDLO: Předpokládejme, že x je řetězec pomlček. Jestliže platí, že Sx není teorém, pak platí, že Px je teorémem.

Tím by ale došlo k osudnému omylu, protože ověřování, zda Sx není teorém, není výslovně daná typografická operace. Pokud bychom chtěli bez jakýchkoli pochyb určit, že MU není teorém MIU-systému, museli bychom vykročit mimo Systém... a to platí i pro naše navrhované pravidlo. Je to pravidlo, které je v rozporu s celou myšlenkou formálních systémů, protože vyžaduje, abychom něco dělali neformálně — to znamená mimo daný systém. Typografická operace uvedená na počátku kapitoly pod číslem 6) nám umožňuje nahlédnout do zásoby dosud nalezených teorémů, naše navrhované pravidlo nás však žádá, abychom se podívali do hypotetické „tabulky ne-teorémů“. Abychom ale takovou tabulku vytvořili, museli bychom se pustit do usuzování mimo systém — do usuzování, které ukáže, proč některé řetězce uvnitř daného systému vytvořit nelze. Klidně může existovat jiný formální systém, v němž je možné vytvořit „tabulku ne-teorémů“ čistě typografickými prostředky. Najít takový systém je dokonce naším cílem. Jenomže navrhované pravidlo typografickým pravidlem není, takže je musíme opustit.

Je to tak důležitý bod, že bychom se u něj mohli zdržet trochu déle. V našem S-systému (který obsahuje kr-systém a pravidlo pro definování teorémů typu S) máme teorémy ve formě Sx, kde „x“ představuje, jako obvykle, řetězec pomlček. Ve formě Sx existují také ne-teorémy (a pokud budeme mluvit o „ne-teorémech“, budeme mít na mysli právě je, ačkoli i řetězce jako kk-Srr a další špatně utvořené nesmysly jsou ne-teorémem). Rozdíl je v tom, že u teorémů je počet pomlček složeným číslem, zatímco ne-teorémy jich mají prvočíselný počet. Všechny teorémy mají určitou společnou formu, to znamená, že pocházejí ze stejného souboru typografických pravidel. Mají ve stejném smyslu všechny ne-teorémy rovněž společnou formu? Ukažme si zde seznam teorémů typu S bez jejich odvozování. Čísla v závorkách představují počet pomlček v každém z nich.