1. Kapitola první: problém MUUUUU
    1. Teorémy, axiomy, pravidla
    2. Uvnitř a vně systému
  2. Další položka

Kapitola první: problém MU

Jedním z ústředních pojmů této knihy je formální systém. My se budeme zabývat typem formálního systému, který vytvořil americký logik Emil Post ve dvacátých letech 20. století a jemuž se často říká „Postův produkční systém“. V této kapitole se podíváme na jeho základní vlastnosti, aby to bylo zábavnější a abychom povzbudili čtenáře k vlastním pokusům s formálními systémy, začneme s hádankou, kterou nazveme „Problém MU“.

POVIDLO I: Máme-li řetězec, jehož poslední písmeno je I, můžeme na jeho konec přidat U. Mimochodem, pokud by to nebylo všem zřejmé: součástí významu slova „řetězec“ je pevné pořadí jeho písmen. Například MI a IM jsou dva různé řetězce. Řetězec symbolů není jen nějaký košík, v němž pořadí nehraje roli. Zde je druhé pravidlo:

PRAVIDLO II: Předpokládejme, že máme Mx. Pak lze do naší sbírky přidat i Mxx. Několik následujících příkladů ukazuje, co tím máme na mysli: Z MIU můžeme vytvořit MIUIU. Z MUM můžeme vytvořit MUMUM. Z MU můžeme vytvořit MUU. Písmeno „x“ v pravidle II zastupuje libovolný řetězec; jakmile se však rozhodneme, který řetězec to je, musíme u své volby pro toto konkrétní použití pravidla setrvat (při dalším použití pravidla ovšem tuto volbu činíme znovu). Viz poslední příklad: jakmile máme MU, můžeme do své sbírky přidat i MUU; nejprve však musíme MU získat! Ještě poslední poznámku k písmenu „x“: není součástí daného formálního systému ve stejném smyslu jako písmena „M“, „I“ a „U“. Je totiž užitečné umět se vyjadřovat o řetězcích systému obecně, symbolicky — a to je právě role „x“, které zastupuje libovolný řetězec. Pokud bychom někdy přidali do své sbírky řetězec obsahující „x“, nebude to v pořádku, protože řetězce MIU-systému žádné „x“ nemohou obsahovat. Zde je třetí pravidlo:

PRAVIDLO III: Pokud se v některém řetězci vyskytuje III, můžeme udělat nový řetězec s U místo III. Příklady: Z UMIIMU můžeme udělat UMUMU. Z MIlll můžeme udělat MIU (a také MUI). Z IIMIl pomocí tohoto pravidla nemůžeme udělat nic. (Tři | musejí následovat bezprostředně po sobě.) Z Mill můžeme udělat MU. V žádném případě neplatí, že toto pravidlo lze použít obráceně jako v následujícím příkladu: Z MU uděláme Mlll. <= To je špatně. Pravidla jsou totiž jednosměrná. A zde je poslední pravidlo:

PRAVIDLO IV: Pokud se uvnitř některého řetězce vyskytne UU, můžeme ho odstranit. Z UUU dostaneme U. Z MUUUJII dostaneme MUIII. A to je vše. Teď můžeme začít s pokusy o vytvoření MU. Možná se to hned nepodaří, tím se však nenecháme odradit — důležité je získat trochu praxe v práci s MIU-systémem. Dobrou zábavu.

Teorémy, axiomy, pravidla

Řešení Problému MU si ukážeme později — v této fázi nebyl důležitý cíl, ale hledání cesty k němu. Při pokusech s MIU-systémem jsme vytvořili svou soukromou sbírku řetězců. Těmto řetězcům, které vznikly podle daných pravidel, budeme říkat teorémy. Zde je nutné podotknout, že termín „teorém“ v matematice znamená něco trochu jiného, než co jím budeme označovat v této kapitole my. V matematice je teorém řidčeji užívaným synonymem termínu věta a oba termíny zde označují nějaké tvrzení v běžném jazyce, jehož platnost byla dokázána argumentací podle přesných pravidel — viz třeba Zenonův teorém o „neexistenci“ pohybu, Eukleidova věta o nekonečném počtu prvočísel či Churchův teorém, o kterém budeme mluvit později. My se dopustíme určité svévole a v této knize si pojem „teorém“ vyhradíme pro použití ve formálních systémech, zatímco pro běžné užití budeme používat termínu „věta“. Tyto termíny budeme zaměňovat jen tam, kde je slovní spojení zažité a nehrozí riziko záměny. Náš MIU-systém je vzorovým příkladem formálního systému, jeho „teorémy“ nejsou žádná tvrzení (jsou to pouhé řetězce symbolů) a místo dokazování je budeme jen vytvářet jakoby strojem, podle jistých typografických pravidel. Raději si to zformulujme ještě jinak: „teorém“ je jen technické označení řetězce, jenž se dá vytvořit v nějakém formálním systému. V tomto smyslu Problém MU spočívá v otázce, zda je MU teorémem MIU-systému.

Do začátku jsme volně dostali jednu větu, totiž MI. Taková „volná“ věta se nazývá axiom — i to je jen technický termín zcela odlišný od obvyklého matematického významu (my ho budeme užívat v obou významech). Formální systém může mít libovolný počet axiomů: žádný, jeden, několik, ba i nekonečně mnoho. Se všemi z těchto možností se ještě v knize setkáme. Každý formální systém má pravidla pro manipulaci se symboly, podobná oněm čtyřem pravidlům MIU-systému. Tato pravidla se nazývají produkční pravidla nebo odvozovací pravidla. Budeme používat oba termíny.

Uvnitř a vně systému

Lidé se většinou pustí do Problému MU tak, že odvozují řady vět víceméně náhodně, jen aby se přesvědčili, jak to vlastně funguje. Brzy si však začnou všímat určitých zákonitostí — a to je právě okamžik, kdy do hry vstupuje lidská inteligence. Ze začátku například není nijak zřejmé, že by všechny věty měly začínat na M, po několika odvozeních se však objeví určitá pravidelnost. Ta se nám pak potvrdí pohledem na pravidla, z nichž je zřejmé, že každá nová věta dědí první písmeno z předešlé. Počáteční písmena všech vět tak lze zpětně vysledovat až k počátečnímu písmenu jediného axiomu MI — a to je důkaz, že všechny teorémy MIU-systému musejí začínat písmenem M.

V tom, co se tu odehrálo, je cosi velmi významného, co ukazuje jeden z rozdílů mezi lidmi a stroji. Jistě by bylo možné — dokonce velmi snadné — naprogramovat počítač, aby vytvářel jednu větu MIU-systému po druhé; do programu bychom třebas mohli zahrnout příkaz zastavit jen tehdy, když vznikne U. Už víme, že takhle naprogramovaný počítač by se nikdy nezastavil, a nijak nás to nepřekvapuje. Co kdybychom ale požádali přítele, aby vytvořil U? Rozhodně by nás nepřekvapilo, kdyby si po chvíli přišel stěžovat, že se nemůže zbavit počátečního M a že se úkol nedá splnit. I člověk mdlejšího ducha po chvíli vypozoruje určité vlastnosti systému, a tato pozorování mu poskytnou vhled do jeho fungování. Takovou věc počítačový program, jaký jsme popsali, rozhodně nesvede.

Rozdíl je v tom, že stroj může pracovat nezaujatě; člověk zcela nezaujatě jednat nedokáže. Netvrdíme, že by všechny stroje nutně byly neschopné činit důmyslná pozorování, ale pouze to, že některé stroje takové jsou. Stejně tak není pravda, že všichni lidé vždy činí důmyslná pozorování; ve skutečnosti jsou lidé často docela nezaujatí. Stroje však mohou být nezaujaté totálně, zatímco lidé nikoli. Ve skutečnosti je většina zatím vyrobených strojů velice blízko stavu totální nezaujatosti. Nejspíše proto se vlastnost nezaujatosti zdá být většině lidí pro stroje charakteristická. Kupříkladu když někdo označí nějakou činnost jako „mechanickou“, neznamená to, že by jí lidé nebyli schopni; znamená to však, že jen stroj ji dokáže dělat pořád dokola bez jakéhokoli stěžování anebo pocitu nudy.