1. 1. GÖDEL
  2. 2. MATEMATICKÁ LOGIKA: SOUHRN

1. GÖDEL

V příkladech podivných smyček, které jsme viděli u Bacha a Eschera, se vyskytuje konflikt mezi konečným a nekonečným, což často vede k silnému pocitu paradoxu.

Obr.8 Metamorfóza, M.C. Escher (dřevořez, 19,5 cm x 400cm, 1939-40, 1967-68).

Kurt Gödel
Obr.9 Kurt Gödel.

Intuice napovídá, že v tom je něco matematického. A opravdu, ve 20. století byla objevena matematická obdoba podivných smyček, a následky byly nedozírné. Stejně jako Bachovy a Escherovy smyčky odkazují k prosté a dávné intuici, k hudební stupnici a ke schodišti, tak i Gödelův objev podivné smyčky v matematických systémech má svůj původ v prosté a dávné intuici. V té absolutně nejjednodušší podobě zahrnuje Gödelův objev přenesení antického filozofického paradoxu do matematických pojmů. Máme na mysli známý Epimenidův paradox neboli paradox lháře. Epimenides byl Kréťan, který pronesl nesmrtelný výrok: „Všichni Kréťané jsou Iháři.“ Stručnější verzí je prostý výrok „Jsem lhář“ nebo „Tato věta je nepravdivá“. Právě tuto poslední verzi budeme mít na mysli, budeme-li hovořit o Epimenidově paradoxu. Je to výrok, který hrubě narušuje obvyklé dělení výroků na pravdivé a nepravdivé, protože jakmile si jen představíme, že je pravdivý, okamžitě nás přiměje pochopit, že pravdivý není. A jakmile rozhodneme, že pravdivý není, zase nás obratem vrátí k myšlence, že musí být pravdivý. Zkuste si to!

Epimenidův paradox je jednostupňová podivná smyčka, podobně jako Escherova Obrazárna. Ale co to má společného s matematikou? Právě to, co objevil Gödel. Jeho ideou bylo využít matematické uvažování při zkoumání samotného uvažování. Toto „introspektivní“ pojetí matematiky se ukázalo jako nesmírně účinné a jeho patrně nejcennějším důsledkem je Gödelova věta o neúplnosti. Co věta říká a jak je dokázána, to jsou dvě různé věci. V této knize se budeme zabývat obojím docela podrobně. Větu můžeme přirovnat k perle a metodu jejího důkazu k perlorodce. Perly si ceníme pro její lesk a prostý tvar; perlorodka je složitý živočich, uvnitř kterého se rodí takový podivuhodně jednoduchý skvost. Gödelova věta se objevila roku 1931 jako Tvrzení VI v jeho článku „Úber formal unentscheidbare Sátze der Principia Mathematica und verwandte Systeme“ (O formálně nerozhodnutelných větách v Principia Mathematica a příbuzných systémech). Tvrdí:

Každé w-konzistentní třídě k formulí odpovídá rekurzivní třída r symbolů taková, že ani v Gen r, ani Neg(v Gen r) nepatří do Flg(x) (kde v je volná proměnná v r). Ve skutečnosti to bylo německy, a možná se vám zdá, že jsme to tak klidně mohli nechat. Uveďme tedy ještě parafrázi v normálnějším jazyce: Všechny bezesporné formulace teorie čísel obsahují nerozhodnutelná tvrzení. A to je ta perla.

Vidět v ní podivnou smyčku je obtížné. To proto, že podivná smyčka se skrývá v perlorodce — v důkazu. Důkaz Gödelovy věty o neúplnosti závisí na autoreferenčním matematickém výroku stejně, jako je Epimenidův paradox autoreferenčním výrokem o jazyce. Zatímco je však velice prosté mluvit v jazyce o jazyce, není vůbec snadné vidět, jak by mohlo tvrzení o číslech vypovídat o sobě. Ve skutečnosti to chtělo jen génia, který by spojil myšlenku autoreference s teorií čísel. Jakmile Gödel získal pocit, že by se takové tvrzení dalo vytvořit, byla hlavní překážka překonána. Výsledný výrok byl jen rozpracováním tohoto působivého záblesku intuice.

Gödelovou konstrukcí se budeme pečlivěji zabývat v dalších kapitolách, ale abychom nezůstávali v temnotách, načrtneme tu několika tahy jádro myšlenky — v naději, že to, co uvidíme, bude v našich myslích inspirací pro zrod dalších idejí. Nejprve bychom si měli vyjasnit hlavní obtíž. Matematická tvrzení — omezme se jen na tvrzení z teorie čísel — se týkají vlastností celých čísel. Celá čísla však nejsou tvrzení, stejně tak ani jejich vlastnosti. Tvrzení teorie čísel není o tvrzení teorie čísel; je prostě jen tvrzením teorie čísel. A toto je ten problém. Gödel si však uvědomil, že je tu toho skryto víc, než je na první pohled patrné.

Správně vytušil, že tvrzení z teorie čísel by mohlo být i tvrzením o tvrzení teorie čísel (dokonce i o sobě samém), pokud by se podařilo nahradit všechna tvrzení čísly. Jádrem jeho konstrukce je myšlenka očíslování — číselného zakódování formulí. Takovýmto způsobem je každému tvrzení teorie čísel jakožto posloupnosti speciálních symbolů přiřazeno nějaké Gödelovo číslo, něco jako telefonní nebo registrační číslo, jímž se na ně můžeme odkázat. A tento trik s očíslováním umožňuje chápat každé tvrzení teorie čísel na dvou různých úrovních: jako tvrzení teorie čísel a zároveň i jako tvrzení o tvrzeních teorie čísel.

Jakmile Gödel tento trik s očíslováním vymyslel, musel dopodrobna rozpracovat způsob, jak přenést Epimenidův paradox do číselně teoretického formalismu. Jeho konečná transplantace Epimenida neříká „Toto tvrzení teorie čísel neplatí“, ale spíše „Toto tvrzení teorie čísel nemá důkaz“. Odtud patrně pramení většina nedorozumění, protože lidé obecně chápou pojem „důkaz“ velice vágně. Ve skutečnosti byla Gödelova práce jen součástí letité snahy matematiků dobrat se podstaty matematického důkazu. Je důležité si uvědomit, že důkazy jsou ověřovací metodou uvnitř daného systému tvrzení. V případě Gödelovy práce je systémem, k němuž se slovo „důkaz“ vztahuje, systém uvažovaný v Principia Mathematica, gigantickém díle Bertranda Russella a Alfreda Northa Whiteheada vydaném v letech 1910-13. Proto by měla být Gödelova formule G spíše zapsána jako:

Toto tvrzení teorie čísel nemá důkaz v systému Principia Mathematica

Nicméně Gödelova formule G není Gödelovým teorémem — stejně jako Epimenidův výrok není zjištěním, že „Epimenidův výrok je paradox“. Můžeme však nyní formulovat, co je výsledkem objevu formule G. Zatímco Epimenidův výrok tvoří paradox, protože není pravdivý ani nepravdivý, Gödelův výrok G je (uvnitř Principií) nedokazatelný, leč pravdivý. A velké finále? Systém Principia Mathematica je „neúplný“ — existují pravdivá tvrzení z teorie čísel, pro něž je metoda dokazování v rámci této teorie příliš slabá, takže je s její pomocí nelze dokázat.

Ač byla Principia Mathematica první obětí této rány, rozhodně nebyla obětí poslední! Spojení „a příbuzných systémech“ v názvu Gödelova článku je výmluvné; jestliže Gödelův výsledek poukázal jen na nedostatek v díle Bertranda Russella a Alfreda Northa Whiteheada, mohli by se jiní pokusit o vylepšení Principií a Gödelovu větu tak obejít. To však možné není: Gödelův důkaz se dá použít na každý axiomatický systém, který by se snažil dosáhnout cílů, jež si kladli Whitehead s Russellem. Trik funguje stejně i pro jakýkoli jiný systém. Gödel zkrátka ukázal, že dokazatelnost je slabší pojem než pravda, bez ohledu na použitý axiomatický systém.

Gödelova věta tak měla elektrizující vliv na logiky, matematiky a filozofy zabýnemůže zahrnout složitost přirozených čísel 0, 1, 2, 3, ... Současní čtenáři tím patrně nejsou tolik zaskočeni jako ti v roce 1931, protože mezitím naše kultura Gödelovu větu vnitřně přijala podobně jako konceptuální revoluci teorie relativity a kvantové mechaniky, ač se všechna ta filozoficky dezorientující poselství dostávají k veřejnosti zmírněna několika vrstvami překladů (a zpravidla i zjednodušení). Zatímco dnes už „omezující“ výsledky nikoho nepřekvapí, v roce 1931 Gödelův objev přišel jako blesk z čistého nebe.

2. MATEMATICKÁ LOGIKA: SOUHRN

Náležité ocenění Gödelovy věty vyžaduje znalost kontextu. Pokusíme se proto teď krátce shrnout historii matematické logiky před rokem 1931, což je samo o sobě nesplnitelný úkol. (Pro slušný výklad historie viz DeLong, Kneebone nebo Nagel a Newman.) Vše začalo pokusem mechanizovat myšlenkové postupy uvažování. Dnes je naše schopnost uvažovat často vyzdvihována jako něco, čím se odlišujeme od ostatních živočišných druhů; na první pohled tak pokus mechanizovat něco, co je výsostně lidské, působí poněkud paradoxně. Ale už staří Řekové věděli, že uvažování je založeno na jistých schématech a přinejmenším zčásti se řídí jasnými pravidly. Aristoteles nám zanechal sylogismy a Eukleides zas základy geometrie; od té doby však uteklo mnoho staletí, než jsme opět učinili pokrok ve studiu axiomatického uvažování.

Jedním z významných objevů matematiky 19. století byla existence několika různých a zcela rovnocenných geometrií, přičemž „geometrií“ rozumíme teorii vlastností abstraktních bodů a přímek. Dlouho se mělo za to, že geometrie je to, co ustavil Eukleides, a pokud se snad v Eukleidových formulacích mohou objevit drobné nedostatky, nejsou podstatné a každý další rozvoj geometrie může spočívat jen v rozšiřování Eukleidova základu. Tato idea byla otřesena objevem neeukleidovské geometrie hned několika matematiky zhruba ve stejné době — objev, který otřásl matematickým společenstvím, protože hluboce zpochybnil ideu, že matematika studuje reálný svět. Jak by mohla jedna a táž skutečnost obsahovat různé druhy bodů a přímek? Dnes je řešení podobného dilematu zřejmé, dokonce i některým nematematikům, ve své době však v matematických kruzích způsobilo zmatek.

Později v 19. století angličtí logici George Boole a Augustus De Morgan pokročili v kodifikaci přísně deduktivního uvažování podstatně dál než Aristoteles. Boole dokonce nazval — poněkud nadneseně — svou knihu The Laws of Thought (Zákony myšlení), nicméně opravdu šlo o důležitý příspěvek k vývoji oboru. Lewis Carroll byl těmito mechanizovanými metodami uvažování fascinován a vymyslel mnoho logických hlavolamů, které lze jejich pomocí řešit.