1. VYLOUČENÍ PODIVNÝCH SMYČEK
  2. BEZESPORNOST, ÚPLNOST, HILBERTŮV PROGRAM
  3. BABBAGE, POČÍTAČE, UMĚLÁ INTELIGENCE...

VYLOUČENÍ PODIVNÝCH SMYČEK

Přebal knihy Gödel, Escher, Bach

Russell s Whiteheadem takový názor sdíleli a jejich kniha Principia Mathematica byla gigantickým pokusem vymýtit podivné smyčky z logiky, teorie množin a teorie čísel. Myšlenka jejich systému byla v zásadě následující: Prvky množin nejnižšího „typu“ mohou být jen „objekty“, nikoli množiny. Prvky množiny dalšího typu mohou být jen objekty nebo množiny nižšího typu. Obecně může množina daného typu obsahovat jen objekty nebo množiny nižšího typu. Každá množina je nějakého typu. Je zřejmé, že žádná množina sama sebe obsahovat nemůže, protože by musela být typu o řád vyššího, než sama je. V takovém systému existují pouze „tuctové“ množiny; navíc T, množina všech tuctových množin, už vlastně mezi množiny nepatří, poněvadž není žádného konečného typu. Takováto teorie typů, kterou můžeme také nazvat „teorií vymýcení podivných smyček“, úspěšně zbaví teorii množin jejích paradoxů, ale jen za cenu zavedení evidentně umělé hierarchie a zákazu jistého druhu množin — takových jako množina všech tuctových množin. Tento systém množin je pak ovšem v rozporu s intuicí.

Teorie typů si poradila s Russellovým paradoxem, ale s Epimenidovým ani Grellingovým paradoxem nepořídila nic. Lidem, jejichž zájem končí u teorie množin, to stačilo, ale ti, kteří by rádi vymýtili všechny paradoxy, považovali za nutné zavést proti smyčkám i hierarchizaci jazyka. Základem takové hierarchie by měl být objektový jazyk, který odkazuje jen do konkrétní oblasti, nikoli na vlastnosti objektového jazyka samého (jako třebas na gramatická pravidla nebo na specifické věty v něm). K takovému účelu slouží metajazyk. Tato zkušenost dvou lingvistických úrovní je známa všem učitelům cizích jazyků. K diskusi o metajazyce pak máme metametajazyk a tak dále. Bylo by žádoucí, aby každá věta patřila k nějaké přesné úrovni takové hierarchie — když pak u nějaké formule takovou úroveň nedokážeme určit, prohlásíme ji za nesmyslnou a zapomeneme ji.

Podívejme se, jak nám to pomůže vypořádat se s výše uvedenou dvojstupňovou Epimenidovou smyčkou. První věta mluví o druhé větě, a proto musí být na vyšší úrovni. Ze stejného důvodu však musí být druhá věta na vyšší úrovni než věta první. Protože to nejde, jsou obě věty „nesmyslné“. Přesněji: takové věty nelze v systému založeném na přísné hierarchii jazyků vůbec zformulovat. To zabrání všem verzím Epimenidova i Grellingova paradoxu. (Do které úrovně jazyka by mohl patřit výraz „heterologický“?)

Teorie množin se zabývá abstrakčemi, s nimiž se běžně nepotkáváme, a tak se v ní může stratifikace v duchu teorie typů zdát přijatelná, byť mírně podivná. Jakmile však dojde na přirozený jazyk, jenž je všední součástí našeho života, vypadá takové rozvrstvení absurdně. Je nepředstavitelné, že bychom se při běžném hovoru obezřetně pohybovali nahoru a dolů v nějaké hierarchii jazyků. Zcela věcné a pravdivé konstatování jako „V této knize kritizuji teorii typů“ by bylo v takovém systému dvojnásob zakázáno. Především zmiňuje „tuto knihu“, o níž je dovoleno mluvit pouze v „metaknize“, a za druhé zmiňuje mě, osobu, o které já sám rozhodně mluvit nesmím! Tenhle příklad ukazuje, jak hloupě teorie typů vypadá, když ji přeneseme do dobře známého kontextu. Postup, jímž se pokouší vypořádat s paradoxy — absolutní zákaz autoreferencí v jakékoli podobě — je přemrštěný a leckteré docela dobré konstrukce odsouvá do kategorie nesmyslných. Přívlastkem „nesmyslný“ by se pak mimochodem musely označit všechny diskuse z teorie lingvistických typů (včetně textu tohoto odstavce), protože očividně nemohou být na žádné definovatelné úrovni: ani objektového jazyka, ani metajazyka, ani metametajazyka, a tak dále. Samotný rozbor této teorie je zároveň jejím nejkřiklavějším porušením!

Mohli bychom se takových teorií zastat: měly se týkat jen formálních jazyků, nikoli běžné, neformální řeči. Budiž, pak to ale ukazuje, jak jsou takové teorie přehnaně akademické a jak málo mohou říci o paradoxech s výjimkou těch, jež se vynoří v nějakém speciálně přizpůsobeném systému. Kromě toho snaha vyhnout se paradoxům za každou cenu, zvlášť když to pak vyžaduje vytvoření vyumělkovaného formalismu, klade příliš velký důraz na holou bezespornost a pomíjí vše vtipné a bizarní, jež teprve činí život a matematiku zajímavými. Je samozřejmě důležité usilovat o bezespornost, jakmile nás však taková snaha zažene až k nějaké mimořádně ohavné teorii, je něco špatně.

Tento druh problémů v základech matematiky povzbudil zájem o kodifikaci metod lidského uvažování, který byl počátkem 20. století patrný. Matematici a filozofové začali projevovat vážné pochybnosti, zda vůbec na solidních základech stojí alespoň ty nejkonkrétnější teorie jako studium celých čísel (čili teorie čísel). Když mohou paradoxy tak snadno vystoupit v teorii množin — tedy v teorii, jejíž základní objekty mají jistě velmi intuitivní základ — jak by pak mohly neexistovat i v jiných částech matematiky? Obavy panovaly také z toho, že by se mohlo ukázat, že logické paradoxy podobné paradoxu Epimenidovu jsou matematice vlastní, a tak zpochybnit matematiku jako celek. To obzvlášť znepokojovalo početnou skupinu badatelů přesvědčených, že matematika je součástí logiky (či naopak že logika je součástí matematiky). Dokonce i samotná otázka „Jsou matematika a logika odlišné, anebo jen různé části téhož?“ se stala zdrojem četných sporů.

Takovému zkoumání samotné matematiky se začalo říkat metamatematika, anebo občas metalogika. Nejnaléhavějším úkolem metamatematiky bylo odhalit skutečnou podstatu matematického uvažování. Jaké metody jsou dovoleny a jaké ne? Matematické uvažování vždy probíhalo v „přirozeném jazyce“ (třebas ve francouzštině či v latině nebo jiném jazyce pro normální domluvu), což samo bylo zdrojem mnohých nejednoznačností. Slova dávají různým lidem různý smysl a odkazují k různým obrazům: proto se zdálo rozumné, ba důležité vytvořit jednotný symbolický jazyk, ve kterém by se dala dělat veškerá matematika a v němž by libovolní dva matematici mohli vyřešit každý spor, zda navržený důkaz je správný či nikoli. To by ovšem vyžadovalo vytvořit normu obecně přijatelných způsobů lidského uvažování, přinejmenším co se matematiky týče.

BEZESPORNOST, ÚPLNOST, HILBERTŮV PROGRAM

Cílem Principií bylo odvodit veškerou matematiku z logiky, a navíc bezesporně! To si vysloužilo mnoho obdivu, chyběla však jistota, zda (1) je v metodách navržených Russellem a Whiteheadem opravdu obsažena veškerá matematika, nebo zda dokonce (2) jsou tyto metody vůbec vnitřně konzistentní. Bylo snad opravdu jisté, že Russellovými a Whiteheadovými metodami žádný z matematiků nikdy neodvodí nějaký sporný výsledek?

Tato otázka trápila zvláště vynikajícího německého matematika (a metamatematika) Davida Hilberta, který před světové společenství matematiků (i metamatematiků) předstoupil s následující výzvou: rigorózně dokázat — nejlépe výhradně Russellovými a Whiteheadovými metodami — že systém definovaný v Principiích je jak bezesporný, tak úplný (tedy že každé pravdivé tvrzení teorie čísel lze odvodit v rámci systému). To byl obtížný požadavek a dalo by se mu vytknout, že nás zavádí do- kruhu: jak můžeme své metody uvažování ospravedlnit na základě týchž metod uvažování? Trochu by to připomínalo barona Prášila, který se za vlastní cop vytáhl i s koněm z močálu. (Jak se zdá, podivných smyček se jen tak nezbavíme!)

Hilbert si ovšem uvedené dilema plně uvědomoval, doufal jen, že bezespornost či úplnost půjde prokázat „finitisticky“, tedy pomocí nevelké, matematiky obvykle přijímané množiny metod uvažování. Hilbert tak doufal, že by si s tím snad matematici mohli poradit přesně v duchu barona Prášila: prokázat korektnost celého univerza matematických metod pomocí jeho vlastní podmnožiny. Dnes to zní poněkud ezotericky, nicméně tento cíl zaměstnával mysl mnoha z nejvýznamnějších světových matematiků během prvních třiceti let 20. století.

Ve třicátém prvním roce však Gödel zveřejnil svůj článek, který v jistém smyslu Hilbertův program zcela rozvrátil. Jeho článek ukázal víc než jen neopravitelné „díry“ v Russellově a Whiteheadově axiomatickém systému: navíc prokázal, že dokonce žádný axiomatický systém nemůže zahrnout všechny pravdy teorie čísel a přitom zůstat bezesporným. A jako by toho nebylo dost, definitivně zmařil i naději dokázat bezespornost systému podobného systému Principií: pokud by totiž takový důkaz pomocí jeho vlastních metod existoval, tento systém by musel být sporný! To je jeden z nejmysterióznějších důsledků Gödelovy práce.

Závěrečnou ironií toho všeho je, že důkaz Gödelovy věty o neúplnosti kromě jiného odhalil Epimenidův paradox přímo v srdci Principií, baště zdánlivě zcela bezpečné před podivnými smyčkami! Přestože Gödelova podivná smyčka nezmařila přínos Principia Mathematica nadobro, učinila je pro matematiky mnohem méně zajímavými. Ukázala totiž, že původní Russellovy a Whiteheadovy cíle byly iluzorní.

BABBAGE, POČÍTAČE, UMĚLÁ INTELIGENCE...

Když vyšel Gödelův článek, svět stál na prahu rozvoje elektronických číslicových počítačů. Myšlenka mechanického počítacího stroje nebyla nová. V 17. století navrhli Pascal a Leibniz stroje, jež umožnily provádět některé početní operace (sčítání a násobení). Tyto stroje však postrádaly paměť a podle současných měřítek nebyly programovatelné.

Prvním člověkem, který si uvědomil nesmírné výpočetní možnosti strojů, byl Londýňan Charles Babbage (1792-1871), typ, který jako by právě vystoupil ze stránek Kroniky Pickwickova klubu. Za svého života se Babbage nejvíc proslavil svou kampaní za zbavení Londýna „pouličních otrapů“ — především flašinetářů. Tihle „parazité“ se pak na oplátku ve dne v noci scházeli před jeho domem a vyhrávali mu své serenády, za což je on zuřivě proháněl ulicemi. Dnes považujeme Babbage za člověka, jenž předběhl svou dobu o stovku let: nebyl jen vynálezcem základních principů moderních počítačů, byl i jedním z prvních, kdo bojovali se zvukovým znečištěním.

Jeho první, „diferenční stroj“ měl „diferenční metodou“ generovat různé matematické tabulky. Avšak ještě před sestavením funkčního modelu tohoto stroje Babbage posedla mnohem revolučnější idea: „analytický stroj“. Poněkud neskromně napsal: „Způsob, jakým jsem k tomu došel, byl tím nejkomplikovanějším a nejzamotanějším, jaký kdy zaměstnával lidskou mysl.““ Na rozdíl od všech dříve navržených strojů měl mít analytický stroj kromě „mlýna“ (výpočetní a rozhodovací jednotky) i „zásobárnu“ (paměť). Obě jednotky se měly skládat z tisíců ozubených válců propojených neuvěřitelně složitým způsobem. Babbageova idea byla, že čísla budou pronikat dovnitř mlýna a ven z něj podle programu na děrném štítku — inspiroval se Jacguardovým tkalcovským stavem, který také řídily štítky a stav podle nich tkal fantasticky složité vzory. Babbageova brilantní přítelkyně s nešťastným osudem, hraběnka lady Ada Lovelace (dcera lorda Byrona), vznosně poznamenala, že „analytický stroj tká algebraické vzorce podobně jako Jacguardův stav tká květiny a lístky“. Přítomný čas bohužel použila neoprávněně, protože analytický stroj se nikdy nedočkal realizace a Babbage zemřel zatrpklý a rozčarovaný.