3. SONÁTA PRO SÓLOVÉHO ACHILLA

Obr.14 Vyplnění plochy II, M.C. Escher (litografie, 1957).

Zvoní telefon. Achilles jej zvedne.

Achilles: Dobrý den, tady Achilles.

Achilles: Á, zdravíčko, pane Ž. Jak se vede?

Achilles: Strnutí šíje? No to je hrůza, to je mi líto. Jak jste k tomu proboha přišel?

Achilles: Jak dlouho že jste ji strnule držel v té pozici?

Achilles: No tak to se pak nedivím, že vám strnula. Co vás proboha přimělo k tomu, abyste s takhle strašně vykrouceným krkem stál takovou drahnou dobu?

Achilles: Úžasná spousta že jich byla? A jak vypadaly, například?

Achilles: Co tím myslíte, „fantasmagorické příšery“?

Achilles: A to jste jich viděl tolik najednou? To muselo být dost strašidelné.

Achilles: Kytara? Uprostřed všech těch potvor byla jako z udělání zrovna kytara? A vy hrajete na kytaru?

Achilles: No, v tom já nevidím moc velký rozdíl.

Achilles: No jo, to máte pravdu. Nechápu, jak to že jsem si tohoto rozdílu mezi kytarou a houslemi nevšiml dřív. Mimochodem, když mluvíme o houslích, nechtěl byste se tady zastavit a poslechnout si jednu sonátu pro sólové housle od vašeho oblíbeného skladatele Johanna Sebastiana Bacha? Zrovna jsem si koupil úžasnou nahrávku. Pořád se nemůžu vzpamatovat z toho, jak Bach dokáže pouze pomocí houslí vytvořit tak nádherný kousek.

Achilles: K tomu ještě migréna? To je otrava. Možná byste měl zůstat v posteli.

Achilles: Aha. Zkusil jste počítat ovečky?

Achilles: Aha, aha, no jasně. Tomu velmi dobře rozumím. Tedy jestli vám to až do takové míry nedá spát, tak byste mi to možná mohl říci, ať nad tím mohu přemýšlet také.

Achilles: Slovo, ve kterém se vyskytují písmena G, R a E v tomto pořadí za sebou? Hm, co třeba „negramotný“?

Achilles: Jo, to je vlastně pravda, to je ve zpřeházeném pořadí.

Achilles: Hodiny a hodiny? Tak to jsem se, koukám, nechal zatáhnout do časově pěkně náročného úkolu. Kde jste tenhle pekelný rébus vzal?

Achilles: Chcete říci, že vypadal, jako že rozjímá nad ezoterickými otázkami buddhismu, a přitom vymýšlel složité slovní hádanky?

Achilles: No to se podívejme! Takže hlemýžď věděl, co ten chlápek zamýšlí. Ale jak jste se dostal k hlemýždovi?

Achilles: Heleďte, já jsem jednou slyšel hádanku, která zněla dost podobně. Chcete ji slyšet, nebo by vás to rozrušilo ještě víc?

Achilles: Máte pravdu, uškodit to nemůže. Tak ta hádanka zní: najděte slovo, které začíná písmeny MI a končí písmeny NA.

Achilles: No to je sice chytré, ale je to trochu podvod. Takhle to tedy rozhodně nebylo míněno.

Achilles: Ale ano, máte pravdu, splňuje to podmínky zadání, ale je to tak trochu „degenerované“ řešení, jestli mi rozumíte. Existuje jiné, lepší.

Achilles: To je ono! Jak jste na to mohl přijít tak rychle?

Achilles: Takže jsme objevili případ, kdy vám migréna vlastně pomohla, místo aby vám uškodila. Vynikající. Ale stran vaší hádanky s písmeny GRE jsem zatím v koncích.

Achilles: Co, vy už to máte? No tak to vám blahopřeji! Tak teď můžete konečně v klidu usnout. A jak zní řešení?

Achilles: Ne, nevím, co v téhle souvislosti myslíte slovy „Aigura“ a „pozadí“.

Achilles: No jasně že znám Vyplnění plochy II! Znám všechna Escherova díla! Je to koneckonců můj oblíbený malíř. Mám ten obraz na stěně, zrovna na něj koukám.

Achilles: Ano, vidím všechna černá zvířata.

Achilles: Jistě, vidím i to, jak jejich „negativní prostor“ — tedy to, co zbude — definuje bílá zvířata.

Achilles: Aha, tak TAKHLE jste to myslel s těmi figurami a pozadím. Ale co to má co dělat s vaší hádankou?

Achilles: Hmm, to je pro mě asi moc velký chyták. Mám pocit, že teď leze migréna NA MĚ.

Achilles: Že byste se tu přece jen zastavil? Já měl za to, že...

Achilles: Dobře. Snad do té doby vyřeším tu VAŠI hádanku, pomocí vaší nápovědy s postavami a pozadím, díky souvislosti s Mojí hádankou.

Achilles: Moc rád vám je přehraju.

Achilles: Že máte o nich nějakou hypotézu?

Achilles: A na jaký nástroj se hraje ten doprovod?

Achilles: To je zvláštní, proč tedy nenapsal rovnou i part pro cembalo a nepublikoval to zároveň?

Achilles: Aha, rozumím — něco jako volitelná možnost. Člověk to může poslouchat tak či onak — s doprovodem nebo bez něj. Ale odkud mám vědět, jak by měl ten doprovod znít?

Achilles: Aha, ano, to bude asi nejlepší, nechat to na posluchačově fantazii. A navíc možná je to tak, jak jste říkal, tedy že Bach nikdy o žádném doprovodu ani neuvažoval. Ty sonáty jsou nakonec vcelku dost pěkné tak, jak jsou napsané.

Achilles: Aha, výborně. Tak se za chvíli uvidíme.

Achilles: Na shledanou, pane Ž.

KAPITOLA TŘETÍ: FIGURA A POZADÍ

PRVOČÍSLA A SLOŽENÁ ČÍSLA

Na myšlence, že pojmy a koncepty lze zachytit jednoduchými typografickými manipulacemi, je něco zvláštního. Jedním z konceptů, který jsme takto vystihli, je ovšem sčítání; a to tak zvláštně nevypadalo. Předpokládejme ale, že máme v úmyslu vytvořit formální systém s teorémy ve formě Px, kde „x“ představuje řetězec pomlček a kde jedinými teorémy budou ty, v nichž bude onen řetězec sestávat jen z jejich prvočíselného počtu. To znamená, že teorémem bude například P---, nikoli už ale P----. Jak by se to dalo typograficky zachytit? Především je důležité, abychom si ujasnili, co myslíme výrazem typografické operace. Jejich úplný repertoár jsme si představili u MIU-systému a pr-systému, takže teď nám už jen zbývá sepsat výčet toho, co umožňují:

(1) čtení a rozeznávání každého z konečného souboru symbolů;

(2) zapisování kteréhokoli symbolu, který je součástí souboru;

(3) kopírování kteréhokoli symbolu z jednoho místa na jiné;

(5) ověřování, zda je určitý symbol totožný s jiným;

(6) vedení a používání seznamu dříve vytvořených teorémů.

Seznam je nadbytečně velký, na tom ale nesejde. Důležité je, že evidentně zahrnuje jen triviální schopnosti, z nichž každá je mnohem slabší než schopnost rozlišovat prvočísla od ostatních čísel. Jak bychom tedy mohli některé z těchto operací seskládat tak, aby vytvořily formální systém, v němž lze prvočísla odlišit od čísel složených?

KR-SYSTÉM

Prvním krokem by mohl být pokus o řešení podobného, ale jednoduššího problému. Mohli bychom vytvořit systém podobný pr-systému s tím rozdílem, že namísto sčítání bude reprezentovat násobení. Nazvěme si jej kr-systém, kde „k“ znamená „krát“. Předpokládejme, že X, Y a Z reprezentují počty pomlček v pomlčkových řetězcích x, y a z. (Všimněte si, jak pečlivě rozlišujeme mezi řetězcem a počtem pomlček, které obsahuje.) Chceme pak, aby řetězec xk rz byl teorémem tehdy a jen tehdy, jestliže X krát Y rovná se Z. Teorémem by tak měl být například řetězec --k---, protože 2 krát 3 rovná se 6, kdežto --k--r--- teorémem nebude. Tento kr-systém lze charakterizovat stejně snadno jako pr-systém, tedy pomocí jednoho schématu axiomů a jednoho odvozovacího pravidla:

SCHÉMA AXIOMŮ: xk-rx je axiom pokaždé, když x je řetězec pomlček.

ODVOZOVACÍ PRAVIDLO: Předpokládejme, že x, y a z jsou řetězce pomlček a že xkyrz je teorémem. Potom i xky-rzx je teorémem.

Zde je odvození teorému --k---r------:

(1) --k-r-- (axiom)

(2) --k--r---- (podle odvozovacího pravidla s využitím řádku (1) jako stávajícího teorému)

(3) --k---r------ (podle odvozovacího pravidla s využitím řádku (2) jako stávajícího teorému)

Všimněme si, že prostřední řetězec pomlček se při každém uplatnění odvozovacího pravidla zvýší o jednu pomlčku; můžeme tedy snadno předpovědět, že pokud budeme chtít získat teorém s deseti pomlčkami uprostřed, uplatníme odvozovací pravidlo devětkrát po sobě.